La Geometría Proyectiva es el modelo idóneo para representar el paso del mundo real tridimensional al bidimensional de las imágenes planas que encontramos en cualquier pantalla o dispositivo móvil. Este libro contiene una introducción a los conceptos de la Geometría Proyectiva presentes en el campo de la Visión Artificial o Visión por Ordenador, a través de ejemplos prácticos desarrollados paso a paso con el software matemático libre Octave. El texto comienza describiendo los distintos tipos de transformaciones homogéneas del plano y del espacio para centrarse en las proyecciones en perspectiva, que constituyen una de las partes fundamentales del modelo de cámara que rige el paso del espacio 3D al 2D. Se estudia cómo conceptos proyectivos como las homografías, los puntos de fuga o la cónica del infinito, se utilizan en aplicaciones gráficas de rectificación de imágenes, construcción de panorámicas o calibración de cámaras. Además, se aborda el problema de la reconstrucción tridimensional a partir de dos vistas, aplicando la geometría epipolar para recuperar los modelos presentes en una escena a partir de dos imágenes reales.
Geometría Proyectiva y Visión Artificial
Nolla de Celis, Álvaro
*Este valor puede ser aproximado y podrá variar al momento del pago.
| 2023 | eBook |
Descripción
La Geometría Proyectiva es el modelo idóneo para representar el paso del mundo real tridimensional al bidimensional de las imágenes planas que encontramos en cualquier pantalla o dispositivo móvil. Este libro contiene una introducción a los conceptos de la Geometría Proyectiva presentes en el campo de la Visión Artificial o Visión por Ordenador, a través de ejemplos prácticos desarrollados paso a paso con el software matemático libre Octave. El texto comienza describiendo los distintos tipos de transformaciones homogéneas del plano y del espacio para centrarse en las proyecciones en perspectiva, que constituyen una de las partes fundamentales del modelo de cámara que rige el paso del espacio 3D al 2D. Se estudia cómo conceptos proyectivos como las homografías, los puntos de fuga o la cónica del infinito, se utilizan en aplicaciones gráficas de rectificación de imágenes, construcción de panorámicas o calibración de cámaras. Además, se aborda el problema de la reconstrucción tridimensional a partir de dos vistas, aplicando la geometría epipolar para recuperar los modelos presentes en una escena a partir de dos imágenes reales.
Información adicional
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Tabla de contenido
1 Introducción 52 GNU Octave 9
2.1 Octave GUI (Graphical User Interface)
2.2 Funciones elementales
2.3 Vectores
2.4 Matrices
2.5 Strings
2.6 El lenguaje de programación de Octave
2.7 Creación de archivos .m
2.8 Funciones
2.9 Gráficas
2.9.1 El comando plot
2.9.2 Posibilidades de la ventana gráfica
2.9.3 El comando plot3
2.9.4 El comando mesh
2.9.5 El comando frame
2.9.6 Curvas y superficies parametrizadas
2.10 Uso de imágenes en Octave
3 Transformaciones homogéneas
3.1 Vectores
3.1.1 Operaciones con vectores
3.1.2 Aplicaciones
3.1.3 Orientación de superficies
3.2 Transformaciones homogéneas 2D
3.2.1 Coordenadas homogéneas
3.2.2 La jerarquía de transformaciones en el plano
3.3 Transformaciones homogéneas 3D
3.3.1 La jerarquía de transformaciones en el espacio
3.3.2 Cuaterniones
3.4 Proyecciones
3.4.1 Proyecciones Paralelas
3.4.2 Proyecciones en Perspectiva
3.4.3 La posición estándar. Ecuaciones del Modelo de Cámara
3.5 Problemas
4 Geometría en espacios proyectivos
4.1 La recta proyectiva P1
4.1.1 La razón doble
4.2 El plano proyectivo P2
4.2.1 Puntos y Rectas
4.2.2 Los puntos circulares
4.2.3 Geometría en P2
4.2.4 Dualidad
4.3 El espacio proyectivo P3
4.3.1 Puntos y planos
4.3.2 Dualidad
4.3.3 Rectas y coordenadas de Plücker
4.4 Espacios proyectivos generales
4.4.1 Sistemas de referencia proyectiva y coordenadas homogéneas
4.5 Problemas
5 Geometría de una vista
5.1 El modelo de cámara 5.1.1 Matriz de cámara
5.1.2 Rotación y traslación de la cámara
5.2 Elementos de la cámara
5.2.1 Rayos
5.2.2 Centro de la cámara
5.2.3 Plano principal
5.2.4 Punto principal
5.2.5 Proyección de los puntos del infinito
5.2.6 Rayo Principal
5.3 Proyección de planos. Homografías
5.3.1 Cálculo de homografías
5.3.2 Aplicación 1. Rectificación de la perspectiva de una imagen
5.3.3 Aplicación 2: Panorámicas
5.4 Puntos y líneas de fuga
5.4.1 Puntos de fuga
5.4.2 Líneas de fuga
5.4.3 Aplicación. Cálculo de alturas relativas de una escena
5.5 Proyección de cónicas
5.5.1 La cónica absoluta Ω∞ y su proyección ω
5.5.2 Propiedades de ω
5.6 Calibración de una cámara con tres cuadrados
6 Reconstrucción tridimensional a partir de dos vistas
6.1 Geometría epipolar
6.2 La matriz fundamental
6.2.1 Construcción geométrica de F
6.2.2 Construcción algebraica de F
6.2.3 Propiedades de F
6.2.4 Matrices de cámara canónicas
6.2.5 Cálculo de F
6.3 Triangulación
6.4 Reconstrucción de una escena
6.4.1 El Teorema de la reconstrucción proyectiva
6.4.2 Un método de reconstrucción desde 2 vistas
6.4.3 Reconstrucción directa con puntos de control
6.5 Método de reconstrucción estratificado
Apéndices
A ´Algebra Lineal
A.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
A.2 Diagonalización
B Soluciones a los Ejercicios
B.1 Transformaciones Homogéneas
B.2 Geometría en espacios proyectivos
C Funciones .m
C.1 ´Angulo entre dos vectores
C.2 Matriz antisimétrica asociada a un vector
C.3 Cuaterniones
C.4 Coordenadas de Plücker
C.5 Cálculo de una homografía
C.6 Triangulación
C.7 Transformación puntos de control
Bibliografía
Licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid y doctor en Matemáticas por la Universidad de Warwick, Reino Unido. Su campo de investigación se centra en la Geometría Algebraica y sus aplicaciones a otras disciplinas, como la Computación Gráfica o el Análisis de Datos, así como lo aspectos relativos a la enseñanza y aprendizaje de la Geometría y el Álgebra en las distintas
etapas educativas. Fue investigador postdoctoral por dos años en la Universidad de Nagoya y ha participado como ponente y organizador de numerosas conferencias internacionales. En España ha colaborado con varias universidades, entre ellas el Centro Universitario de Tecnología y Arte Digital (U-Tad), donde forma parte del claustro del Máster en Computación Gráfica, Realidad Virtual y Simulación, como profesor de la asignatura de Geometría Proyectiva y Métodos Numéricos. Actualmente pertenece al Departamento de Didácticas Específicas, en el área de Didáctica de las Matemáticas, de la Facultad de Formación del Profesorado y Educación de la Universidad Autónoma de Madrid.
